Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016的n的最小值．

Answer 1

分析 （I）∵S_n+n=2a_n（n∈N^*），当n=1时，a₁+1=2a₁，解得a₁．当n≥2时，S_n-1+n-1=2a_n-1，可得a_n+1=2（a_n-1+1）．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）•2ⁿ，利用等比数列的前n项和公式可得：T_n．代入不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016化简即可得出．

解答 解：（I）∵S_n+n=2a_n（n∈N^*），∴当n=1时，a₁+1=2a₁，解得a₁=1．
当n≥2时，S_n-1+n-1=2a_n-1，相减可得：a_n+1=2a_n-2a_n-1，化为a_n=2a_n-1+1，变形为a_n+1=2（a_n-1+1）．
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴${a_n}={2^n}-1$．
（II）b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=3×2+5×2²+×2³+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=3×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n+1}-1）}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴满足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016化为：2ⁿ⁺¹＞2016，
解得n≥10．
∴满足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$＞2016的n的最小值为10．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．