Question

2．求极限：$\underset{lim}{x→∞}$（$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$-$\sqrt{{x}^{2}-x-3}$）

Answer 1

分析 化简$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$-$\sqrt{{x}^{2}-x-3}$=$\frac{2x+4}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}+\sqrt{{x}^{2}-x-3}}$，从而分类讨论解得．

解答 解：$\underset{lim}{x→∞}$（$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$-$\sqrt{{x}^{2}-x-3}$）
=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{{x}^{2}+x+1-{x}^{2}+x+3}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}+\sqrt{{x}^{2}-x-3}}$
=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{2x+4}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}+\sqrt{{x}^{2}-x-3}}$
①当x→+∞时，
$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{2x+4}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}+\sqrt{{x}^{2}-x-3}}$
=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{2+\frac{4}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{3}{{x}^{3}}}}$=1，
②当x→-∞时，
$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{2x+4}{\sqrt{{x}^{2}+x+1}+\sqrt{{x}^{2}-x-3}}$
=-$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{2+\frac{4}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{3}{{x}^{3}}}}$=-1．

点评 本题考查了极限的应用及分类讨论的思想应用．