Question

设为数列的前项和，对任意的，都有（为正常数）.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足，，求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用与之间的关系，对分两种情况讨论，时，求的值，时，利用得出与之间的关系，进而利用定义证明数列为等比数列；
（2）在（1）的条件下求出的值，然后根据数列的递推公式的结构利用倒数法得到数列为等差数列，通过求处等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（3）利用（2）中数列的通项公式，并根据数列的通项公式的结构选择错位相减法求数列的前项和.
试题解析：（1）证明：当时，，解得．       1分
当时，．即．       2分
又为常数，且，∴．         3分
∴数列是首项为1，公比为的等比数列．        4分
（2） 5分 ∵，∴，即． 7分
∴是首项为，公差为1的等差数列．               8分
∴，即．           9分
（3）由（2）知，则．
所以，                                10分
即，       ①  11分
则，      ②   12分
②－①得，        13分
故．        14分