Question

已知椭圆的准线平行于x轴，长轴长是短轴长的3倍，且过点（2，3）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）求椭圆的标准方程，并写出准线方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的方程是 =1，
∵长轴长是短轴长的3倍，
∴a=3b，
∴c==2b，
∴椭圆的离心率为：
（4分）
（Ⅱ）由题设，中心在坐标原点的椭圆过点（2，3），且a=3b，
∴=1，又a²=c²+b²
三式联立可以解得a=3，b=，c=2，
故该椭圆的方程为：（6分），
准线：（2分）
分析：（I）设椭圆的方程是 =1，根据长轴长是短轴长的3倍，求出a与b，c与b的关系，求出椭圆的离心率；
（II）设椭圆的方程是 =1，由题设，中心在坐标原点的椭圆过点（2，3），且它的长轴长是短轴长的3倍，故可以得两个关于a，b，c的方程，解出参数就可得到椭圆的方程及准线方程．
点评：本题考查椭圆的几何特征，利用几何特征建立三个参数a，b，c的方程，求出参数，进而求出椭圆的方程．