题目内容
已知椭圆的准线平行于x轴，长轴长是短轴长的3倍，且过点（2，3）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）求椭圆的标准方程，并写出准线方程．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）求椭圆的标准方程，并写出准线方程．
分析：（I）设椭圆的方程是
+
=1，根据长轴长是短轴长的3倍，求出a与b，c与b的关系，求出椭圆的离心率；
（II）设椭圆的方程是
+
=1，由题设，中心在坐标原点的椭圆过点（2，3），且它的长轴长是短轴长的3倍，故可以得两个关于a，b，c的方程，解出参数就可得到椭圆的方程及准线方程．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
（II）设椭圆的方程是
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程是
+
=1，
∵长轴长是短轴长的3倍，
∴a=3b，
∴c=
=2
b，
∴椭圆的离心率为：
e=
=
=
（4分）
（Ⅱ）由题设，中心在坐标原点的椭圆过点（2，3），且a=3b，
∴
+
=1，又a2=c2+b2
三式联立可以解得a=3
，b=
，c=2
，
故该椭圆的方程为：
+
=1（6分），
准线：y=±
（2分）
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
∵长轴长是短轴长的3倍，
∴a=3b，
∴c=
| a 2-b 2 |
| 2 |
∴椭圆的离心率为：
e=
| c |
| a |
2
| ||
| 3b |
2
| ||
| 3 |
（Ⅱ）由题设，中心在坐标原点的椭圆过点（2，3），且a=3b，
∴
| 9 |
| a2 |
| 4 |
| b2 |
三式联立可以解得a=3
| 5 |
| 5 |
| 10 |
故该椭圆的方程为：
| y2 |
| 45 |
| x2 |
| 5 |
准线：y=±
9
| ||
| 4 |
点评：本题考查椭圆的几何特征，利用几何特征建立三个参数a，b，c的方程，求出参数，进而求出椭圆的方程．
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