Question

2．过点M（-2，0）的直线l与椭圆x²+2y²=4交于P₁，P₂两点，设线段P₁P₂的中点为P．若直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=k₁（x+2），代入x²+2y²=2，得（1+2k₁²）x²+8k₁²x+8k₁²-2=0，然后由根与系数的关系求解能够得到k₁k₂的值．

解答 解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），中点P（x₀，y₀），
设直线l的方程为y=k₁（x+2），代入x²+2y²=2，得（1+2k₁²）x²+8k₁²x+8k₁²-2=0，
所以x₁+x₂=-$\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．而y₁+y₂=k₁（x₁+x₂+4）=$\frac{4{k}_{1}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．
所以OP的斜率k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2{k}_{1}}$
所以k₁k₂=-$\frac{1}{2}$
故选：D

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属于中档题．