Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）．则下列结论
①f（x）的图象关于（1，0）对称．
②f（x）的图象关于直线x=2对称．
③f（x）为周期函数，且4为它的一个周期．
④方程f（x）=0在[0，4]上至少有两个根．
其中一定正确的结论序号是

 

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Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：①根据偶函数的定义和条件f（x+2）=-f（x），即可判断①；
②由于f（x+2）=-f（x），将x换为x+2，得到f（x+4）=f（x），再由偶函数的定义即可判断②；
③由于f（x+2）=-f（x），将x换为x+2，得到f（x+4）=f（x），即可判断③；
④由于f（x+2）=-f（x），令x=-1，又f（-x）=f（x）即可求出f（1）=0，再令x=1，即得f（3）=0，从而判断④．

解答： 解：①由定义在R上的偶函数f（x）得f（-x）=f（x），又f（x+2）=-f（x），故f（x+2）+f（-x）=0，即图象关于（1，0）对称，①正确；
②由于f（x+2）=-f（x）．则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），又f（-x）=f（x），故f（x+4）=f（-x），即图象关于直线x=2对称，②正确；
③由于f（x+2）=-f（x）．则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）为周期函数，且4为它的一个周期，③正确；
④令x=-1，由于f（x+2）=-f（x），则f（1）=-f（-1），又f（-1）=f（1），故f（1）=0，又f（3）=-f（1）=0，故f（x）=0在[0，4]上至少有两个根，④正确．
故答案为：①②③④

点评：本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查解决抽象函数问题常用的赋值法，正确赋值是解决此类问题的关键．