Question

7．函数f（x）=$sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}x（0＜x＜\frac{π}{3}）$的值域是（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．

Answer 1

分析 推导出f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，由此能求出函数f（x）=$sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}x（0＜x＜\frac{π}{3}）$的值域．

解答 解：f（x）=sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²x=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（1-cos2x）
=$\frac{1}{2}sin2x$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]，
∴函数f（x）=$sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}x（0＜x＜\frac{π}{3}）$的值域是（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]．

点评 本题考查三角函数值的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．