Question

已知椭圆的离心率，分别为椭圆的长轴和短轴的端点，为中点，为坐标原点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积最大时，直线的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）直线的方程为.

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的性质，弦长可得，，由此可求，故椭圆的方程为；

（2）根据直线与椭圆的位置关系，设直线的方程为，联立方程得，所以可写出

设，则，则，其中，易证单调减，当时，的最大值为.所以，此时，直线的方程为.

（1）∵∴① 2分

∴ ②，

∴由①②得

∴椭圆的方程为 4分

（2）设直线的方程为

由

7分

设，则

则，其中

易证单调减，当时，的最大值为 10分

∴

此时，直线的方程为 12分

考点：椭圆的性质、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、三角形的面积公式、勾函数的性质、换元法.