Question

3．如图，已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，|$\overrightarrow{OC}$|=6，∠AOB=120°，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=0，设$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ、μ∈R），则λ+3μ=8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据条件便可得出∠BOC=30°，而对$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$的两边分别乘以向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，然后进行数量积的运算便可得到关于λ，μ的二元一次方程组，可解出λ，μ，从而得出λ+3μ．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=0$；
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OC}$；
∴∠BOC=30°；
由$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$的两边分别乘以向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=λ-μ}\\{6\sqrt{3}=-λ+4μ}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=2\sqrt{3}}\\{μ=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$；
∴$λ+3μ=8\sqrt{3}$．
故答案为：$8\sqrt{3}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．