Question

18．已知函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
（1）画出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）求该函数的对称中心；
（3）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
（2）根据正弦函数图象与性质，令原题中三角函数中的角度等于kπ，解出x，即为对称中心的横坐标，又纵坐标为1，从而得到对称中心坐标．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，从而可求得 f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）列表：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	1	2	1	0	1

描点、连线如图所示：

（2）解：令2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得：x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z，
则函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1的图象的对称中心的坐标是（$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，1）k∈Z．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，从而可求得 f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象的作法，考查了正弦函数的对称性，单调性，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法，属于基础题．