Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D为45°时，求EB的长．

Answer 1

分析：（1）根据几何体的结构特征可得：AB⊥A₁D，结合题意可得：A₁D⊥AD₁，即可根据线面垂直的判定定理可得线面垂直，进而转化为线线垂直．
（2）过D作DG⊥EC于G，连接D₁G，所以D₁D⊥平面ABCD，由三垂线定理有D₁G⊥EC，所以∠D₁GD是二面角D₁-EC-D的平面角，再利用解三角形的有关知识解决问题即可．

解答：解：（1）在长方体AC₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D，…（1分）
因为侧面AA₁D₁D是矩形，且AD=AA₁=1，
所以A₁D⊥AD₁，…（3分）
又∵AD₁∩AB=A，
∴A₁D⊥平面ABD₁
又D₁E?平面ABD₁，
∴D₁E⊥A₁D，…（6分）

（2）过D作DG⊥EC于G，连接D₁G，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有D₁D⊥平面ABCD，

由三垂线定理有D₁G⊥EC，
∴∠D₁GD是二面角D₁-EC-D的平面角，…（9分）
所以∠D₁GD=45°，
∴DG=1，又矩形ABCD中，DC=2，
∴∠DCE=30°=∠CEB，
∴EB=BCcot30°=

3

，…（12分）．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，即可得到线线与线面关系，进而利用这些关系解决空间角问题．