Question

已知θ∈（

5π

6

，π），sinθ+cosθ=2

2

sinθcosθ，则sin（2θ+

π

3

）=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：由二倍角的正弦函数公式化简已知等式，再把所得的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，结合θ的范围求出sin2θ的值，再由平方关系求出cos2θ的值，利用两角和的正弦函数公式求出sin（2θ+

π

3

）的值．

解答： 解：由sinθ+cosθ=2

2

sinθcosθ得，sinθ+cosθ=

2

sin2θ，
将上式两边平方得，1+sin2θ=2sin²2θ，
即2sin²2θ-sin2θ-1=0，解得sin2θ=-

1

2

或1，
由θ∈（

5π

6

，π），得2θ∈（

5π

3

，2π），
所以sin2θ=-

1

2

，则cos2θ=

3

2

，
所以sin（2θ+

π

3

）=

1

2

sin2θ+

3

2

cos2θ=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，主义角的范围和三角函数值的符号，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．