Question

【题目】如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为

（1）求曲线的方程；

（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.

①求证：不可能是钝角；

②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②存在，.

【解析】

（1）可设，可由与关于圆心对称，求得圆心，再由半径处处相等建立等式，化简即可求解；

（2）设直线，，联立方程得关于的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；

（3）可假设存在点，设的中点为，由直线和垂直关系求出点，由韦达定理和弦长公式求得弦，结合即可求解具体的的值，进而求解点；

（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，

则，而，则，化简得：，所以曲线的方程为.

（2）①设直线，,

由，得，

则.

，

，

则不可能是钝角.

②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;

，则，则，

则，而，由得，，所以存在点.