Question

如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且．

(1)求证：面平面；
(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一，先利用面面垂直的性质判断出，从而平面，所以垂直于面内的任意的线，由，判断是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空间向量法，通过证明，其它过程与法一相同；第二问，由第一问得到平面的法向量为，而平面的法向量需要计算求出，
，所以，最后用夹角公式求夹角余弦值.
试题解析：(1)解法一：因为面面平面面
为正方形，，平面
所以平面∴                2分
又，所以是等腰直角三角形，
且，即 ，
，且、面，
面            
又面，∴面面.          6分
解法二：
如图,

取的中点, 连结,.
∵,  ∴.
∵侧面底面,
平面平面, 
∴平面,
而分别为的中点,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以为原点,向量为轴建立空间直线坐标系,
则有,,,,,.
∵为的中点, ∴                     2分
(1)∵，，  ∴，
∴,从而,又,,
∴平面，而平面，
∴平面平面．                     6分
（2）由（1）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，∵，
∴由，，可得
取，则故.
∴,
即二面角的余弦值为,        12分