Question

已知△ABC的三个内角分别是A，B，C，所对边分别为a，b，c，满足

BC

•(

AC

-

3

BA

)=0．
（1）求

tanB

tanC

的值；
（2）若C=30°，a=

3

+1，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后即可求出所求式子的值；
（2）由C的度数求出tanC的值，根据（1）的结论求出tanB的值，确定出B度数，进而求出A的度数，确定出sinA的值，由a，sinA，sinC的值，利用正弦定理求出c的值，再由a，c，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）

BC

•（

AC

-

3

BA

）=abcosC-

3

accosB=0，即bcosC=

3

ccosB，
利用正弦定理化简得：sinBcosC=

3

sinCcosB，
∵cosCcosB≠0，
∴tanB=

3

tanC，
则

tanB

tanC

=

3

；
（2）∵C=30°，即tanC=

3

3

，
∴tanB=

3

×

3

3

=1，即B=45°，
∴A=105°，即sinA=sin105°=sin（60°+45°）=

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

6 + 2

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，a=

3

+1，
得c=

asinC

sinA

=

( 3 +1)× 1 2

6 + 2 4

=

2

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×（

3

+1）×

2

×

2

2

=

3 +1

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．