题目内容

(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)、B(3,1)、C(-1,0),求BC边上的高所在的直线方程.
(2)过椭圆
x2
16
+
y2
4
=1
内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,求此弦所在的直线方程.
分析:(1)根据l⊥m?kl×km=-1,先求出高所在直线的斜率,进而利用点斜式即可求出;
(2)利用“点差法”先求出弦所在直线的斜率,再利用点斜式即可求出.
解答:解:(1)设BC边上的高为AD(D为垂足),
kBC=
0-1
-1-3
=
1
4
,kBC×kAD=-1,∴kAD=-4,
∴直线AD的方程为y-3=-4(x-1),化为4x+y-7=0.
(2)设要求的直线与椭圆相较于点A(x1,y1),B(x2,y2),则
x12
16
+
y12
4
=1
x22
16
+
y22
4
=1

两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)
16
+
(y1+y2)(y1-y2)
4
=0,
x1+x2
2
=2
y1+y2
2
=1
kAB=
y1-y2
y1+y2

2
16
+
kAB
4
=0
,解得kAB=-
1
2

∴直线AB为y-1=-
1
2
(x-2)
,化为x+2y-4=0.
点评:熟练掌握两条直线垂直与斜率的关系、点斜式及“点差法”是解题的关键.
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