Question

16．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4$\sqrt{3}$的等边三角形，SA=SC=2$\sqrt{7}$，平面SAC⊥平面ABC，则该三棱锥外接球的表面积为65π．

Answer 1

分析 利用SA=SC=2$\sqrt{7}$，平面SAC⊥平面ABC，求出S到底面ABC的距离，求出底面三角形的外接圆、内切圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．

解答 解：∵△ABC是边长为4$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴△ABC外接圆半径$\frac{\sqrt{3}}{3}×4\sqrt{3}$=4，内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}×4\sqrt{3}$=2
∵SA=SC=2$\sqrt{7}$，平面SAC⊥平面ABC，
∴S到底面ABC的距离h=4，
设球心O到平面ABC的距离为d，
利用勾股定理可得球的半径为：R²=4²+d²=（4-d）²+2²，∴R=$\frac{\sqrt{65}}{2}$
球的表面积：4πR²=65π．
故答案为：65π．

点评 本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．