Question

10．已知点M（-3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的   两直线相交于P点，则点P的轨迹方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$（x＞1）．

Answer 1

分析 PM，PN分别与圆C相切于R、Q，根据圆的切线长定理，能够推导出PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN，因此点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线．再根据题条件能够求出P点的轨迹方程．

解答 解：由已知，设PM，PN分别与圆C相切于R、Q，
根据圆的切线长定理，有PQ=PR，MQ=MB，NR=NB；
∴PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN
∴点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，c=3，a=1，所以b²=8
∴点P的轨迹方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$（x＞1）．
故答案为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$（x＞1）．

点评 本题考查双曲线的基本性质和圆的切线长定理，正确运用双曲线的定义是关键．