Question

9．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知$\overrightarrow{m}$=（2sinA，-3），$\overrightarrow{n}$=（sinA，1+cosA），满足$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，且$\sqrt{7}$（c-b）=a．
（1）求角A的大小；
（2）求cos（C-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求角；
（2）运用正弦定理，结合两角差的余弦公式，以及同角的平方关系，化简计算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（2sinA，-3），$\overrightarrow{n}$=（sinA，1+cosA），满足$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sin²A-3（1+cosA）=2-2cos²A-3（1+cosA）=0，
解得cosA=-$\frac{1}{2}$（-1舍去），
可得A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由$\sqrt{7}$（c-b）=a，运用正弦定理可得sinC-sinB=$\frac{sinA}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
由B+C=$\frac{π}{3}$，可得0＜C＜$\frac{π}{3}$，
由sinC-sin（$\frac{π}{3}$-C）=sinC-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{1}{2}$sinC）=$\frac{3}{2}$sinC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC═$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
化简可得sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
由-$\frac{π}{6}$＜C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{6}$，可得cos（C-$\frac{π}{6}$）＞0，则cos（C-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-\frac{1}{28}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．