Question

【题目】在直三棱柱中，，，过的截面与面交于．

（1）求证：．

（2）若截面过点，求证：面．

（3）在（2）的条件下，求．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析；（3）.

【解析】

（1）由三棱柱结构特征，证得面，再由线面平行的性质定理，即可得到；

（2）取的中点，连接和，得到，再由勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到面，进而得到面．

（3）由，即可求得三棱锥的体积．

（1）由题意，在直三棱柱中，可得，所以面，

又∵面，面，

由线面平行的性质定理，可得．

（2）取的中点，连接和，

∵截面过点，∴截面即为面，

∴、分别为，中点，即，

又∵为中点，∴，

在中，，，∴，

同理，，在中，，

∴为直角三角形，即，

又∵，∴面，∴面．

（3）由（2）可得面，所以，且，

又由，且，可得面，且E，

又由

．