Question

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项，…的最小值记为B_n，d_n=A_n－B_n.
(1)若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，)，写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
(2)设d为非负整数，证明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；
(3)证明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，则{a_n}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

Answer 1

(1)，. (2)见解析 (3)见解析

充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件，需要充分性和必要性两个方面叙述.
(1)，.
(2)充分性：因为是公差为的等差数列，且，所以，
因此，.
必要性：因为，所以.
又因为，所以.
于是.
因此， ，即是公差为的等差数列.
(3)因为a₁=2，d_n=1，所以，，
故对任意，.
假设，中存在大于2的项，
设m为满足的的最小正整数，
则，并且对任意，
又因为a₁=2，所以，且.
于是.
故，与矛盾.
所以对于任意，都有，即非负整数数列的各项只能为1或2,.
因为对任意，，
所以.
故
因此，对于任意正整数，存在满足，且，即数列{a_n}有无穷多项为1.
【考点定位】本题考查了数列的周期性，等差数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.本题是一个信息题，考查了学生对知识的迁移能力.