Question

16．已知以点C（1，-3）为圆心的圆C截直线4x-3y+2=0得到的弦长等于2，椭圆E的长轴长为6，中心为原点，椭圆E的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆E上，△F₁PF₂是直角三角形，若椭圆E的一个焦点是圆C与坐标轴的一个公共点，则点P到x轴的距离为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可解得点C到直线4x-3y+2=0的距离，从而求圆的半径，进而写出圆C的方程，从而解出焦点坐标，再结合椭圆E的长轴长为6写出椭圆的方程，从而结合图象可知∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°，从而来解出点P的纵坐标即可．

解答 解：如右图，
点C到直线4x-3y+2=0的距离
d=$\frac{|4×1+3×3+2|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=3，
故r=$\sqrt{{d}^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，
故圆C的方程为（x-1）²+（y+3）²=10，
令y=0解得，x=0或x=2，
故椭圆的一点焦点坐标为（2，0），
故c=2，
再由椭圆E的长轴长为6知，
a=3；
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
又∵点P在椭圆E上，△F₁PF₂是直角三角形，
∴∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°，
∴设点P的横坐标为x₀，则|x₀|=2，
故$\frac{4}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
故|y₀|=$\frac{5}{3}$；
即点P到x轴的距离为$\frac{5}{3}$；
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的方程的求法及椭圆与直线的位置关系应用，属于中档题．