Question

7．给出下列四个命题：
①点（1，-2，4）关于原点对称的对称点的坐标为（-1，2，-4）；
②若一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为6和4的矩形，则这个圆柱的体积为$\frac{24}{π}$；
③经过点（1，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线是x+y=2；
④把一个三棱柱的各个面伸展成平面，则可把空间分为21部分．
其中正确的命题有①④．

Answer 1

分析 ①利用关于原点对称的对称点的坐标的特点即可得出；
②若一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为6和4的矩形，则2πr=6，解得$r=\frac{3}{π}$，利用圆柱的体积计算公式即可得出；
③分截距为0与不等于0讨论，即可判断出正误；
④把一个三棱柱的各个面伸展成平面，查一下即可得出．

解答 解：①点（1，-2，4）关于原点对称的对称点的坐标为（-1，2，-4），正确；
②若一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为6和4的矩形，则2πr=6，解得$r=\frac{3}{π}$，∴这个圆柱的体积V=$π（\frac{3}{π}）^{2}×4$=$\frac{36}{π}$，因此不正确；
③经过点（1，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线是x+y=2或y=x，因此不正确；
④把一个三棱柱的各个面伸展成平面，则可把空间分为21部分，正确．
故正确答案为：①④．

点评 本题查克拉简易逻辑的判定方法、关于原点对称的对称点的坐标的特点、圆柱的展开图、直线的截距式、三棱柱，考查了分类讨论与空间想象能力及其推理能力，属于中档题．