Question

设数列的前n项和为，且（）.

（1）求，，，的值；

（2）猜想的表达式，并加以证明.

Answer 1

解：（1）因为，，              

所以，当时，有，解得；                  

当时，有，解得；              

当时，有，解得；          

当时，有，解得.      

（2）猜想（）                                    

方法一：

由（），得（），          

两式相减，得，即（）.           

两边减2，得，                                   

所以{}是以-1为首项，为公比的等比数列，

故，                                            

即（）.                                       

方法二：

①当n=1时，由（1）可知猜想显然成立；                           

②假设当n=k时，猜想成立，即，                        

由（），得，

两式相减，得，                                   

所以，

即当n=k+1时，猜想也成立.                                     

根据①和②，知对任意，猜想成立.