Question

20．过抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，O是抛物线的顶点．
（1）判断抛物线的准线和以AB为直径的圆的位置关系；
（2）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系．
（2）由抛物线x²=4y与过其焦点（0，1）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答 解：（1）取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）
=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
（2）由题意知，抛物线x²=4y的焦点坐标为（0，1），∴直线AB的方程为y-1=kx，即y=kx+1
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
则，y₁•y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=1．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=1-4=-3，

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．