Question

已知四棱锥PABCD如图①所示，其三视图如图②所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．

(1)求此四棱锥的体积；

(2)若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；

(3)在(2)的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．

Answer 1

 (1)解析：由题意可知，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S_ABCD＝2×2＝4，高h＝2，所以V_PABCD＝S_ABCD·h＝×4×2＝.

(2)证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.

∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD.

又PA∩AD＝A，PA⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD.

∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD.

又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，

∴AE⊥PD.

又PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD.

(3)证明：∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD且EF＝CD.

又∵CD∥AB且CD＝AB，∴EF∥AB且EF＝AB.

∴四边形ABFE是梯形．

AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交．

∴直线AE和直线BF既不平行也不异面．