Question

已知点(1,2)是函数f(x)＝a^x(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n＝f(n)－1.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n＝log_aa_n＋1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解　(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝a^x得a＝2，

所以数列{a_n}的前n项和为S_n＝f(n)－1＝2ⁿ－1.

当n＝1时，a₁＝S₁＝1；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1，

对n＝1时也适合，∴a_n＝2^n－1.

(2)由a＝2，b_n＝log_aa_n＋1得b_n＝n，

所以a_nb_n＝n·2^n－1.

T_n＝1·2⁰＋2·2¹＋3·2²＋…＋n·2^n－1，                   ①

2T_n＝1·2¹＋2·2²＋3·2³＋…＋(n－1)·2^n－1＋n·2ⁿ.          ②

由①－②得：

－T_n＝2⁰＋2¹＋2²＋…＋2^n－1－n·2ⁿ，

所以T_n＝(n－1)2ⁿ＋1.