Question

6．已知函数f（x）=-2sin（-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）．
（1）求f（x）的对称轴及单调增区间；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式、二倍角公式化简函数f（x）=sin2x，再根据正弦函数的图象的对称性求得f（x）的图象的对称，由正弦函数的单调性求得f（x）的增区间．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=-2sin（-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）=2sinx•cosx=sin2x，
令2x=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，可得函数的图象的对称轴为 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上，2x∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
故当2x=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）=sin2x取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当2x=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）=sin2x取得最大值为1．

点评 本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．