Question

18．若x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-1}\\{\frac{1}{2}x+y≥1}\\{2x+y-7≤0}\end{array}\right.$，且z=mx+y（m＞0）的最大值是5，则z的最小值为1．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对m分类求得取得最大值的最优解，把最优解的坐标代入目标函数，由最大值为5求得m值，得到使目标函数取得最小值的最优解，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件 $\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-1}\\{\frac{1}{2}x+y≥1}\\{2x+y-7≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

由z=mx+y，得y=-mx+z，
由图象可知，当-m＞-2时，直线y=-mx+z经过A（2，3）时，z_max=2m+3=5，m=1；
当-m=-2时，直线y=-mx+z经过A（2，3）时，z_max=7，不符合题意；
当-m＜-2时，直线y=-mx+z经过C（4，-1）时，z_max=4m-1=5，得$m=\frac{3}{2}$．
综上所述，m=1．此时直线y=-mx+z经过B（0，1）时，取得z_min=0+1=1．
故答案为：1．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．