Question

8．设f（x）=lnx，f'（x）是f（x）的导数，若$g（x）=f（x）-\frac{2}{f'（x）}-a$有两个不相同的零点，则实数a的取值范围是（-∞，ln$\frac{1}{2}$-1）．

Answer 1

分析 令g（x）=0得a=lnx-2x，判断h（x）=lnx-2x的单调性，计算最值，得出a的范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx-2x-a，
令g（x）=0得a=lnx-2x（x＞0）．
令h（x）=lnx-2x，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-2，
∴当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，h′（x）＞0，当x$＞\frac{1}{2}$时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减，
∴h（x）的最大值为h（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-1，
又x→0时，h（x）→-∞，x→+∞时，h（x）→-∞，
a＜ln$\frac{1}{2}$-1．
故答案为：（-∞，ln$\frac{1}{2}$-1）．

点评 本题考查了函数零点与函数单调性、极值的关系，也可利用函数图象解出，属于中档题．