Question

设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．

(1)求f(x)的最小值；

(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

Answer 1

解析：(1)(法一)由题设和均值不等式可知，

f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，

当且仅当ax＝1，即当x＝时等号成立，所以f(x)取得最小值为2＋b.

(法二)f(x)的导数f′(x)＝a－＝.

当x>时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；

当0<x<时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减．

所以当x＝时，f(x)取得最小值为2＋b.

(2)f′(x)＝a－.

由题设知，f′(1)＝a－＝，

解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．

将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1，

所以a＝2，b＝－1.