某市需对某环城快速车道进行限速.为了调研该道路车速情况.于某个时段随机对100辆车的速度进行取样.测量的车速制成如下条形图:经计算:样本的平均值μ=85.标准差σ=2.2.以频率值作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度.现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度．(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个.求该� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：

经计算：样本的平均值μ=85，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度．
（1）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；
（2）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；
（3）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ε，求ε的分布列和数学期望．

分析（1）记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”，因为μ-3σ=78.4，μ+2σ=89.4，由样本条形图可得所求的概率．
（2）记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，可得所求概率．
（3）需矫正速度的个数ε服从二项分布，即?～B$（2，\frac{1}{20}）$，即可得出．

解答解：（1）记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”，
因为μ-3σ=78.4，μ+2σ=89.4，
由样本条形图可知，所求的概率为$P（A）=P（x＜μ-3σ）+P（x＞μ+2σ）=P（x＜78.4）+P（x＞89.4）=\frac{1}{100}+\frac{4}{100}=\frac{1}{20}$．
（2）记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”
由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，故所求概率为$P（B）=\frac{C_5^2}{{C_{100}^2}}=\frac{1}{495}$．
（3）需矫正速度的个数ε服从二项分布，即?～B$（2，\frac{1}{20}）$，
∴$P（ε=0）=C_2^0{（\frac{1}{20}）^0}{（\frac{19}{20}）^2}=\frac{361}{400}$，$P（ε=1）=C_2^1{（\frac{1}{20}）^1}{（\frac{19}{20}）^1}=\frac{19}{200}$，$P（ε=2）=C_2^2{（\frac{1}{20}）^2}{（\frac{19}{20}）^0}=\frac{1}{400}$，
因此ε的分布列为

ε	0	1	2
P	$\frac{361}{400}$	$\frac{19}{200}$	$\frac{1}{400}$

由?～B$（2，\frac{1}{20}）$，可知数学期望E（?）=2×$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{10}$．

点评本题考查了条形图的性质、二项分布列的性质及其数学期望、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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