Question

16．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax-1，x≥1}\\{ax-1，x＜1}\end{array}\right.$在R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0$＜a≤\frac{1}{3}$
• B． 0＜a≤1
• C． a≤1
• D． a＞0

Answer 1

分析 先分段考察函数各个分段的单调性，再确定函数在区间衔接点附近的单调性，最后综合得出a的取值范围．

解答 解：因为分段函数f（x）为R上的增函数，所以，
③当x≥1时，f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a²，
函数图象的对称轴x=a≤1，
即a≤1时，x∈[1，+∞），f（x）单调递增；
②当x＜1时，f（x）=ax-1，
则当a＞0时，x∈（-∞，1），f（x）单调递增，
③当x→1时，1-2a-1≥a-1，
解得，a≤$\frac{1}{3}$，
综合以上讨论得，0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故答案为：A．

点评 本题主要考查了分段函数单调性的判断，涉及一次函数和二次函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．