题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值。
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值。
（Ⅰ）证明：取AB的中点D，连结PD，CD，
∵AP=BP，
∴PD⊥AB，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD，
∵PC
平面PCD，
∴PC⊥AB。
（Ⅱ）解：
，
，
∴
，
又
，
∴PC⊥BC，
又
，即
，且
，
∴BC⊥平面PAC，
取AP的中点E，连结BE，CE，
∵AB=BP，∴BE⊥AP，
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP， ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，
，
∴
。
∵AP=BP，
∴PD⊥AB，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD，
∵PC
平面PCD，∴PC⊥AB。
（Ⅱ）解：
，，∴
，又
，∴PC⊥BC，
又
，即，且，∴BC⊥平面PAC，
取AP的中点E，连结BE，CE，
∵AB=BP，∴BE⊥AP，
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP， ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，
， ∴
。
练习册系列答案
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