题目内容
【题目】经统计分析，我市城区某拥挤路段的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当该路段的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为40千米/小时；当
时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当
时，求函数
的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，该拥挤路段车流量（单位时间内通过该路段某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.
【答案】（1）
（2）当车流密度为
时，车流量可以达到最大，最大值为2025辆/小时
【解析】
（1）根据自变量的取值不同，根据题意，写成分段函数；
（2）由（1）求得
，从而得到
，考虑其单调性，从而求解最大值.
（1）由题意，当
时，
；
当
时，设
.
由已知得
，
解得
.
故函数
的表达式为
.
（2）依题意及（1）可得，
.
当时，
为增函数，
故当
时，其最大值为
；
当
时，
.
所以当时，
在区间
上取得最大值2025.
综上，当时，
在区间
上取得最大值
，
即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为2025辆/小时.
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