Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=$\frac{3}{2}$，连接CE并延长交AD于F．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面CFG；
（Ⅱ）求三棱锥V_P-ACG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角三角形的判定得到∠BAD=$\frac{π}{2}$，且∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{3}$．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=$\frac{π}{3}$，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；
（Ⅱ）利用等体积转换，求三棱锥V_P-ACG的体积．

解答 （Ⅰ）证明：在△ABD中，∵E是BD的中点，
∴EA=EB=ED=AB=1，∴AE=$\frac{1}{2}$BD，
可得∠BAD=$\frac{π}{2}$，且∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{3}$，
∵△DAB≌△DCB，
∴△EAB≌△ECB，
从而有∠FED=∠FEA=∠AEB=$\frac{π}{3}$，
故EF⊥AD，AF=FD，
又∵△PAD，中，PG=GD，
∴FG是△PAD的中位线，
∴FG∥PA．
又PA⊥平面ABCD，
∴FG⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，
∴GF⊥AD，
又∵EF，FG是平面CFG内的相交直线，
∴AD⊥平面CFG．
（Ⅱ）解：设BD与AC交于点O，
∵FG∥面PAC，
∴V_P-ACG=V_G-PAC=V_F-PAC=$\frac{1}{3}$S_△PACh
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}|PA||AC|$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，h=$\frac{1}{2}|OD|$=$\frac{3}{4}$，
∴V_P-ACG=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题在三棱锥中求证线面垂直，并求三棱锥V_P-ACG的体积．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查等体积转换等知识，属于中档题．