Question

【题目】如题（19）图，三棱锥中，平面，，分别为线段上的点，且

（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】
（1）

见解答

（2）

【解析】1.证明：由平面,平面,故
由得为等腰直角三角形，故
由,垂直于平面内两条相交直线，故平面.
2.
由1知，为等腰直角三角形，,如（19）图，过点作垂直于，易知又已知,故
由得,故
以为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量
由
得故可取
由（1）可知平面,故平面的法向量可取为,即
从而法向量的夹角的余弦值为
故所求二面角的余弦值为。

【考点精析】掌握向量语言表述线面的垂直、平行关系是解答本题的根本，需要知道要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若．