Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a²-1，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
因为a＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的极小值为f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2时，当x∈[-1，a]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上递增，
当x∈[a，2]时f^/（x）＜0，f（x）在[a，2]上递减，
所以f（x）的最大值为f（a）=

4

3

a2-1，
令

4

3

a2-1≤2a2-1?a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2时，当x∈[-1，2]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上递增，
所以f（x）的最大值为f（2）=6a²-8a+

5

3

，
令6a2-8a+

5

3

≤2a2-1?3a2-6a+2≤0?1-

6

3

＜a＜1+

6

3

，
又a＞2，所以无解．
由上可知1＜a≤2．