Question

已知函数f(x)=

1+lnx

x

．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+

1

2

)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，x＞0，则f′(x)=-

lnx

x2

，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+

1

2

）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．
（2）不等式f(x)≥

k

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，构造函数g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用导数知识能求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）因为f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，则f′(x)=-

lnx

x2

，（1分）
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（a，a+

1

2

）（其中a＞0）上存在极值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

解得

1

2

＜a＜1．
（2）不等式f(x)≥

k

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，记g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，
所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+ln x)

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx，
则h′(x)=1-

1

x

，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2．

点评：本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．