Question

19．定义在R上的函数f（x），满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：
①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；
②$f[\frac{n（n+1）}{2}]$；
③n（n+1）；
④n（n+1）f（1）
其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）相等的是（　　）

• A． ①③
• B． ①②
• C． ①②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 定义在R上的函数f（x），满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，令x=1，y=n⇒f（n+1）=f（n）+f（1）⇒f（n+1）-f（n）=2数列{f（n）}是首项为2，公差为2的等差数列，f（n）=2n，逐一判定即可．

解答 解：定义在R上的函数f（x），满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），
且f（1）=2，令x=1，y=n⇒f（n+1）=f（n）+f（1）⇒f（n+1）-f（n）=2
数列{f（n）}是首项为2，公差为2的等差数列，∴f（n）=2n，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=2+4+6+…+2n=n（n+1），
故①②③一定相等，④必不等，
故选D．

点评 本题考查了抽象函数的赋值法，及数列的求和，属于基础题．