Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx．
（Ⅰ）函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＞x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求解；
（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定导数的正负，即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）+x，则对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＞x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，等价于F（x）在（0，+∞）上是增函数，分类讨论，可得实数a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，
∴f′（x）=x-a+

a-1

x

，
∵函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，
∴2-a+

a-1

2

=-1，
∴a=5；
（Ⅱ）f′（x）=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
∴x=1或a-1．
a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a-1）上单调递减，在（a-1，+∞）上递增；
a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
1＜a＜2时，f（x）在（0，a-1）上单调递增，在（a-1，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增；
a≤1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增．
（Ⅲ）∵f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，
∴f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂，
令F（x）=f（x）+x，则对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＞x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，等价于F（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵F（x）=f（x）+x，
∴F′（x）=

1

x

[x²-（a-1）x+a-1]，
令g（x）=x²-（a-1）x+a-1
a-1＜0时，F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（0）≥0，∴a≥1，不成立；
a-1≥0，则g（

a-1

2

）≥0，即（a-1）（a-5）≤0，∴1≤a≤5，
综上1≤a≤5．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，难度中等．