Question

【题目】已知边长为的正的顶点在平面内，顶点，在平面外的同一侧，点，分别为，在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=2，然后由a的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围．

详解：如图，

由CC′⊥α，A′B′α，得A′B′⊥CC′，

又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，

∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，

设BB′=a，CC′=b，则A′B′2=4﹣a2，A′C′2=4﹣b2，

设B′C′=c，

则有，整理得：ab=2．

∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，

tanφ=，

在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值2，

∴当a最大为时，A′B′取最小值，tanφ的最小值为．

当a减小时，tanφ增大，

若a≤1，则b≥2，在Rt△A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，

∴a＞1，此时A′B′＜，即tanφ．

∴tanφ的范围为．即的最小值为

故答案为：．