Question

已知f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，且m满足不等式

m2-9

m(m-1)

≤0，则实数m的值为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：首先解不等式

m2-9

m(m-1)

≤0，得到-3≤m＜0或1＜m≤3，①再根据f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，由奇函数的定义，以及应用三角恒等变换公式，求出m=kπ+

π

2

，k为整数，②，然后由①②得，m=±

π

2

．

解答： 解：不等式

m2-9

m(m-1)

≤0等价于

m2-9≥0 m(m-1)＜0

或

m2-9≤0 m(m-1)＞0

，
解得，

m≥3或m≤-3 0＜m＜1

或

-3≤m≤3 m＞1或m＜0

，
即有-3≤m＜0或1＜m≤3，①
∵f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即tan（-x）+cos（-x+m）=-tanx-cos（m+x），
∴cos（-x+m）=-cos（x+m），
∴cosmcosx+sinmsinx=-cosmcosx+sinmsinx，
∴cosm=0，m=kπ+

π

2

，k为整数，②
∴由①②得，m=±

π

2

．
故答案为：±

π

2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性及运用，注意定义的应用，同时考查分式不等式的解法，是一道基础题．