Question

【题目】已知函数.

（1）当时.

①求函数在处的切线方程；

②定义其中，求；

（2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①；②8079；（2）.

【解析】

（1）①时，，，利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程．

②由，得，由此能求出的值．

（2）根据若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，得到函数在区间，上不单调，从而求得的取值范围．

（1）①∵，

∴

∴，∴，∵，

所以切线方程为.

②，

.

令，则,.

因为①,

所以②,

由①+②得,所以.

所以.

（2），当时，函数单调递增；

当时，，函数单调递减∵，，

所以，函数在上的值域为.

因为， ，

故，，①

此时，当 变化时、的变化情况如下：

	—	0	+
	单调减	最小值	单调增

∵，

，

∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，

使得成立，当且仅当满足下列条件

，即

令，，

，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减所以，对任意，有，即②对任意恒成立.

由③式解得：④

综合①④可知，当时，对任意给定的，

在上总存在两个不同的，使成立.