Question

2．2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在[50，100]内，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．
（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励y（单位：万元）与考核评分x的关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{-7，50≤x＜60}\\{0，60≤x＜70}\\{3，70≤x＜80}\\{6，80≤x＜100}\end{array}\right.$（负值为企业上缴的罚金），试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；
（Ⅱ）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机抽取2家企业座谈环保经验，求抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a=0.01，从而求出[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的企业家数分别为：8，10，16，4，2，由此能估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值．
（Ⅱ）这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业有6家，其中[80，90）的有4家，[90，100）的有2家，由此利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
（0.020+0.025+0.040+a+0.005）×10=1，
解得a=0.01，
∵[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的频率分别为：0.2，0.25，0.4，0.1，0.05，
∴[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]对应的企业家数分别为：8，10，16，4，2，
∵该省对本省每家企业每年的环保奖励y（单位：万元）与考核评分x的关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{-7，50≤x＜60}\\{0，60≤x＜70}\\{3，70≤x＜80}\\{6，80≤x＜100}\end{array}\right.$，
∴估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值为：
$\overline{x}$=$\frac{1}{40}$[-7×8+0×10+3×16+（4+2）×6]=0.7（万元）．
（Ⅱ）这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业有6家，
其中[80，90）的有4家，[90，100）的有2家，
从中随机抽取2家企业座谈环保经验，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内包含的基本事件个数m=${C}_{4}^{2}$=6，
抽取的2家企业全部为考核评分在[80，90）内的企业的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．