Question

4．已知双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一焦点与抛物线y²=8x的焦点F相同，若抛物线y²=8x的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为1，P为双曲线左支上一动点，Q（1，3），则|PF|+|PQ|的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}+3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出双曲线的方程，再利用|PF|+|PQ|=2$\sqrt{3}$+|PF′|+|PQ|≥2$\sqrt{3}$+|F′Q|，即可得出结论．

解答 解：由题意，抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的一个焦点坐标为（2，0），一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵抛物线y²=8x的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为1，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1，
∵a²+b²=4，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=1，
设双曲线的左焦点为F′，则|PF|=2$\sqrt{3}$+|PF′|，
∴|PF|+|PQ|=2$\sqrt{3}$+|PF′|+|PQ|≥2$\sqrt{3}$+|F′Q|=2$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$，
当且仅当Q，P，F′共线时，取等号，即|PF|+|PQ|的最小值为2$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线的定义将|PF|转化为2$\sqrt{3}$+|PF′|是关键，考查转化思想与应用不等式的能力，属于中档题．