Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$sinB=\frac{5}{13}$，且a，b，c成等比数列．
（Ⅰ）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（Ⅱ）若accosB=12，求S_△ABC及a+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理与等比数列的定义，得出sinAsinC=sin2B；
再利用三角恒等变换计算$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（Ⅱ）利用正弦、余弦定理求出三角形的面积和a+c的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，$sinB=\frac{5}{13}$，且a，b，c成等比数列，
∴ac=b²，
即sinAsinC=sin2B=$\frac{25}{169}$；
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$
=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}$
=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$
=$\frac{sinB}{sinAsinC}$
=$\frac{\frac{5}{13}}{\frac{25}{169}}$
=$\frac{13}{5}$；
（Ⅱ）由accosB=12知cosB＞0，
由sinB=$\frac{5}{13}$，得cosB=±$\frac{12}{13}$，（舍去负值）
从而b2=ac=$\frac{12}{cosB}$=13；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×13×$\frac{5}{13}$=$\frac{5}{2}$；
由余弦定理，得
b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
代入数值，得
13=（a+c）2-2×13×（1+$\frac{12}{13}$），
解得：a+c=3$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．