题目内容
函数f（x）=x3-3ax-1，a≠0，
（Ⅰ）当a=2求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极值，关于x的方程f（x）=m有3个不同实根，求实数m的取值范围．
（Ⅰ）当a=2求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极值，关于x的方程f（x）=m有3个不同实根，求实数m的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求出函数y=f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）由f（x）在x=-1处取得极值，结合图象求出方程f（x）=m有三个不等的实根时m的取值范围．
（Ⅱ）由f（x）在x=-1处取得极值，结合图象求出方程f（x）=m有三个不等的实根时m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵a=2，f（x）=x3-6x-1，
∴f′（x）=3（x2-2），f（1）=-6，
∴f′（1）=-3，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+6=-3（x-1），
即3x+y+3=0；
（Ⅱ）∵f（x）的导数是f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
且f（x）在x=-1处取得极值，
∴3[（-1）2-a]=0，∴a=1；
∴f′（x）=3（x+1）（x-1）；
由（1）知，当x=-1时，f（x）有极大值1；
当x=1时，f（x）有极小值-3；如图，
方程f（x）=m有三个不等的实根时，-3＜m＜1；
∴m的取值范围是{m|-3＜m＜1}．
解：（Ⅰ）∵a=2，f（x）=x3-6x-1，∴f′（x）=3（x2-2），f（1）=-6，
∴f′（1）=-3，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+6=-3（x-1），
即3x+y+3=0；
（Ⅱ）∵f（x）的导数是f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
且f（x）在x=-1处取得极值，
∴3[（-1）2-a]=0，∴a=1；
∴f′（x）=3（x+1）（x-1）；
由（1）知，当x=-1时，f（x）有极大值1；
当x=1时，f（x）有极小值-3；如图，
方程f（x）=m有三个不等的实根时，-3＜m＜1；
∴m的取值范围是{m|-3＜m＜1}．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力，属于中档题．
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