Question

求证：2ⁿ

-C

1 n

•2^n-1+

C

2 n

•2^n-2+…+

C

n-1 n

•2+（-1）ⁿ=1．

Answer 1

考点：组合及组合数公式

专题：二项式定理

分析：把x=2代入（x-1）ⁿ的二项式展开式整理可得结论．

解答： 证明：由二项式定理可得（x-1）ⁿ=xⁿ

-C

1 n

•x^n-1+

C

2 n

•x^n-2+…+

C

n-1 n

•（-1）^n-1x+（-1）ⁿ，
把x=2代入上式可得（2-1）ⁿ=2ⁿ

-C

1 n

•2^n-1+

C

2 n

•x^n-2+…+

C

n-1 n

•2+（-1）ⁿ，
整理可得：2ⁿ

-C

1 n

•2^n-1+

C

2 n

•2^n-2+…+

C

n-1 n

•2+（-1）ⁿ=1．

点评：本题考查二项式定理，属基础题．